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  3. 若函数f(χ，y)对任意正实数t，满足 f(tχ，ty)＝tnf(χ，y)， (7．12) 称f(χ，y)为，1次齐次函数．设f(χ，y)是可微函数，证明：f(χ，y)为n次齐次函数

若函数f(χ，y)对任意正实数t，满足 f(tχ，ty)＝tnf(χ，y)， (7．12) 称f(χ，y)为，1次齐次函数．设f(χ，y)是可微函数，证明：f(χ，y)为n次齐次函数

admin2018-04-18  45
问题 若函数f(χ，y)对任意正实数t，满足
    f(tχ，ty)＝tnf(χ，y)，    (7．12)
    称f(χ，y)为，1次齐次函数．设f(χ，y)是可微函数，证明：f(χ，y)为n次齐次函数
选项
答案设f(χ，y)是n次齐次函数，按定义，得 f(tχ，ty)＝tnf(χ，y)([*]t＞0)为恒等式．将该式两端对t求导，得 χf1′(tχ，ty)＋yf2′(tχ，ty)＝ntn-1f(χ，y)([*]t＞0)， 令t＝1，则χfχ′(χ，y)＋yfy′(χ，y)＝nf(χ，y)． 现设上式成立．考察φ(t)＝[*]，由复合函数求导法则，可得 [*] 即φ(t)为常数，φ(t)＝φ(1)＝f(χ，y)，即f(χ，ty)＝tnf(χ，y)．
解析
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考研数学二

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