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设函数S(x)=∫0x|cost|dt, (1)当n为正整数,且nπ≤x<(n+1)π时,证明:2n≤S(x)<2(n+1); (2)求.
设函数S(x)=∫0x|cost|dt, (1)当n为正整数,且nπ≤x<(n+1)π时,证明:2n≤S(x)<2(n+1); (2)求.
admin
2014-01-26
69
问题
设函数S(x)=∫
0
x
|cost|dt,
(1)当n为正整数,且nπ≤x<(n+1)π时,证明:2n≤S(x)<2(n+1);
(2)求
.
选项
答案
(1)nπ≤x<(n+1)π时,注意到被积函数是非负的,于是有 ∫
0
nπ
|cosx|dx≤S(x)<∫
0
(n+1)π
|cosx|dx. 又因为|cosx|是以π为周期的甬数,存每个周期上积分值相等,所以 ∫
0
nπ
|cosx|dx=n∫
0
π
|cosx|dx=2n, ∫
0
(n+1)π
|cosx|dx=(n+1)∫
0
π
|cosx|dx=2(n+1). 因此当nπ≤x<(n+1)π时,有 2n≤S(x)<2(n+1). (2)由(1)知,当nπ≤x<(n+1)π时,有 [*], 当x→+∞时,有n→∞,根据夹逼定理得 [*]。
解析
[分析] 求解本题的关键是注意到被积函数|cost|是以π为周期的周期函数,从而在每个以π为长度的区间上的积分相等,这样利用积分的可加性可将积分区间分解为以π为长度的区间,进而得到所需的不等式.利用(1)中得到的不等式和夹逼定理即可求(2)中的极限.
[评注] 若f(x)是周期为T的周期函数,即f(xT)=f(x),则
∫
a
a+T
f(x)dx=∫
0
T
f(x)dx。
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考研数学二
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