设函数f(x)，g(x)均在闭区间[a，b]上连续，f(a)=g(b)，f(b)=g(a)，且f(a)≠g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)=g(ξ)

admin2013-12-11 31

问题设函数f(x)，g(x)均在闭区间[a，b]上连续，f(a)=g(b)，f(b)=g(a)，且f(a)≠g(b)，
证明：存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)=g(ξ)

选项

答案令F(x)=f(x)-g(x)，因为f(x)，g(x)均在闭区间[a，b]上连续，所以F(x)也在闭区间 [a，b]上连续，且F(a)=f(a)-g(a)，F(b)=f(b)-g(b)．由于f(a)≠f(b)，所以f(a)＞f(b)或f(a)＜f(b)．当f(a)＜f(b)时，由f(a)=g(b)，f(b)=g(a)，可知 F(a)=f(a)-g(a)=f(a)-f(b)＜0， F(b)=f(b)-g(b)=f(b)-f(a)＞0．由连续函数的介值定理可知，存在ξ∈(a，b)，使F(ξ)=0，即f(ξ)=g(ξ)．类似可证当f(a)＞f(b)时结论仍然成立．

解析

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