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设α是n维非零列向量,矩阵A=E-ααT.证明:(1)A2=A的充要条件是αTα=1;(2)当αTα=1时,A不可逆.
设α是n维非零列向量,矩阵A=E-ααT.证明:(1)A2=A的充要条件是αTα=1;(2)当αTα=1时,A不可逆.
admin
2016-06-30
35
问题
设α是n维非零列向量,矩阵A=E-αα
T
.证明:(1)A
2
=A的充要条件是α
T
α=1;(2)当α
T
α=1时,A不可逆.
选项
答案
(1)A
2
=A[*](E-αα
T
)(E-αα
T
)=E-αα
T
[*]E-2αα
T
+α(α
T
α)α
T
=E-αα
T
[*](α
T
α-1)αα
T
=O(注意αα
T
≠O)[*]α
T
α=1. (2)当α
T
α=1时,A
2
=A,若A可逆,用A
-1
左乘A
2
=A两端,得A=E,代入A的定义式.得αα
T
=O.这与αα
T
≠O矛盾.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/3HzRFFFM
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考研数学二
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