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  3. 设f(x)在(0，＋∞)内可微，f(1)＝1，且满足，则f(x)＝___________。

设f(x)在(0，＋∞)内可微，f(1)＝1，且满足，则f(x)＝___________。

admin2019-01-25  40
问题 设f(x)在(0，＋∞)内可微，f(1)＝1，且满足，则f(x)＝___________。
选项
答案[*]
解析 本题考查变限积分和微分方程的结合。在已知函数表达式两边同时对x求导，可得齐次线性微分方程，解方程即可求出函数f(x)的表达式。
由已知可得x2f(x)＝2∫x1f(t)dt，两边同时对x求导可得
    2xf(x)＋x2f＇(x)＝2f(x)，
等价于微分方程2y－2xy＝x2y＇，分离变量得，解得

    根据y(1)＝1可得C＝－2，因此可解得。
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考研数学三

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