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  3. 已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(1－a)χ12＋(1－a)χ22＋2χ32＋2(1＋a)χ1χ2的秩为2． (1)求a的值； (2)求正交变换χ＝Qy，把f(χ1，χ2，χ3)化为标准形； (3)求方程f(χ1，χ2，χ3)＝0

已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(1－a)χ12＋(1－a)χ22＋2χ32＋2(1＋a)χ1χ2的秩为2． (1)求a的值； (2)求正交变换χ＝Qy，把f(χ1，χ2，χ3)化为标准形； (3)求方程f(χ1，χ2，χ3)＝0

admin2017-08-28  35
问题 已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(1－a)χ12＋(1－a)χ22＋2χ32＋2(1＋a)χ1χ2的秩为2．
    (1)求a的值；
    (2)求正交变换χ＝Qy，把f(χ1，χ2，χ3)化为标准形；
    (3)求方程f(χ1，χ2，χ3)＝0的解．
选项
答案(1)二次型矩阵A＝[*]二次型的秩为2，则二次型矩阵A的秩也为2，从而 [*] 因此a＝0． (2)由(1)中结论a＝0。则A＝[*]，由特征多项式 ｜λE－A｜＝[*]＝(λ－2)[(λ－1)2－1]＝λ(λ－2)2， 得矩阵A的特征值λ1＝λ2＝2，λ3＝0． 当λ＝2，由(2E－A)χ＝0，系数矩阵[*]，得特征向量α1＝(1，1， 0)T，α2＝(0，0，1)T． 当λ＝0，由(0E－A)χ＝0，系数矩阵[*]，得特征向量α3＝(1， －1，0)T． 容易看出α1，α2，α3已两两正交，故只需将它们单位化： γ1＝[*](1，1，0)T，γ2＝(0，0，1)T，γ3＝[*](1，－1，0)T 那么令Q＝(γ1，γ2，γ3)＝[*]，则在正交变换χ＝Qy下，二次型f(χ1，χ2，χ3)化为标准形 f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ＝yT∧y＝2y12＋2y22． (3)由f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋χ22＋2χ32＋2χ1χ2＝(χ1＋χ2)2＋2χ32＝0， 得[*] 所以方程f(χ1，χ2，χ3)＝0的通解为：k(1，－1，0)T其中k为任意常数．
解析
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考研数学一

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