在椭圆x2+4y2=4上求一点，使其到直线2x+3y－6=0的距离最短。

admin2018-12-27 31

问题在椭圆x²+4y²=4上求一点，使其到直线2x+3y－6=0的距离最短。

选项

答案方法一：由点到直线的距离公式，椭圆x²+4y²=4上的点P(x，y)到直线2x+3y－6=0的距离为 [*] 由于d的表达式中含有绝对值，而[*]所以本题转化为求函数(2x+3y－6)²在条件x²+4y²=4下的最小值点。构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=(2x+3y－6)²+λ(x²+4y²－4)，则 [*] 解得 [*] 于是 [*] 根据本题实际意义知，最短距离存在，即点[*]为所求的点。方法二：作椭圆x²+4y²=4的切线l，使其与直线2x+3y－6=0平行，这样的切线有两条，对应的两个切点，其中一个距直线2x+3y－6=0最远，另一个距直线2x+3y－6=0最近。直线2x+3y－6=0的斜率为[*]而椭圆x²+4y²=4在点P(x，y)处切线斜率：[*]于是[*]即得8y=3x。将8y=3x与x²+4y²=4联立解得 [*] 由距离公式[*]知，点[*]即为所求的点。

解析

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考研数学一

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在椭圆x2+4y2=4上求一点，使其到直线2x+3y－6=0的距离最短。

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