2. 考研
  3. 设n维向量α1,α2,α3满足α1—2α2+3α3=0，对任意的n维向量β，向量组α1+αβ，α2+bβ，α3线性相关，则参数a，b应满足条件 ( )

设n维向量α1,α2,α3满足α1—2α2+3α3=0，对任意的n维向量β，向量组α1+αβ，α2+bβ，α3线性相关，则参数a，b应满足条件 ( )

admin2014-04-23  25
问题 设n维向量α1,α2,α3满足α1—2α2+3α3=0，对任意的n维向量β，向量组α1+αβ，α2+bβ，α3线性相关，则参数a，b应满足条件    (    )
选项 A、a=b
B、a=一b
C、a=2b
D、a=一26
答案C
解析 法一  因α1，α2，α3满足α1－2α2+3α3=0(*)，要求向量组α1+αβ，α2+bβ，α3线性相关，其中β是任意向量．利用式(*)，
取常数k1=1，k2=一2，k3=3，对向量组α1+αβ，α2+bβ，α3作线性组合，得(α1+αβ)一2(α2+bβ)+3α3=α1一2α2+3α3+(a一2b)β=(a－2b)β．故当a=2b时，对任意的n维向量β均有α1+αβ一2(α2+bβ)+3α3=0．
即α=2b时，α1+αβ，α2+bβ，α3对任意β线性相关．故应选C．
法二  α1+αβ，α2+bβ，α3线性相关r[α1+αβ，α2+bβ，α3]≤2．对矩阵[α1+αβ，α2+bβ，α3]
作初等列变换(不改变秩)有[α1+bβ，α2+bβ，α3]→[α1+bβ，α2+bβ．α1+αβ一2(α2+bβ)+α3]→[α1+αβ，α2+bβ，(α一2b)β][α1+αβ，α2+bβ，0]，
故a=2b时，r[α1+aβ，α2+bβ，α3]≤2，α1+αβ，α2+bβ，α3线性相关，应选C．
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考研数学一

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