已知α1，α2，…，αs线性无关，β可由α1，α2，…，αs线性表出，且表达式的系数全不为零．证明：α1，α2，…，αs，β中任意s个向量均线性无关．

admin2021-07-27 25

问题已知α₁，α₂，…，α_s线性无关，β可由α₁，α₂，…，α_s线性表出，且表达式的系数全不为零．证明：α₁，α₂，…，α_s，β中任意s个向量均线性无关．

选项

答案用反证法．设α₁，α₂，…，α_s，β中存在s个向量α₁，α₂，…，α_i-1，α_i+1，…，α_s，β线性相关，则存在不全为零的数k₁，k₂，…，k_i-1，k_i+1，…，k_s，k，使得k₁α₁+…+k_i-1α_i-1+k_i+1α_i+1+…+k_sα_s，kβ=0．另一方面，由题设有β=l₁α₁+l₂α₂+…+l_iα_i+…+l_sα_s，其中l_i≠0，i=1，2，…，s．代入上式，得(k₁+kl₁)α₁+(k₂+kl₂)α₂+…+(k_i-1+kl_i-1)α_i-1+kl_iα_i+(k_i+1+kl_i+1)α_i-1+…+(k_s+kl_s)α_s=0．因α₁，α₂，…，α_s线性无关，从而有kl_i=0，l_i≠0，得k=0，从而得k₁，k₂，…，k_i-1，k_i+1，…，k_s均为零，矛盾．故α₁，α₂，…，α_s，β中任意s个向量均线性无关．

解析

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考研数学二

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已知α1，α2，…，αs线性无关，β可由α1，α2，…，αs线性表出，且表达式的系数全不为零．证明：α1，α2，…，αs，β中任意s个向量均线性无关．

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