设二次型f(x1，x3，z3)=x12+x22+x32－2x1x2一2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形f=2y12+2y22+βy32 求常数α，β及所用正交变换矩阵Q．

admin2016-12-09 39

问题设二次型f(x₁，x₃，z₃)=x₁²+x₂²+x₃²－2x₁x₂一2x₁x₃+2ax₂x₃通过正交变换化为标准形f=2y₁²+2y₂²+βy₃²
求常数α，β及所用正交变换矩阵Q．

选项

答案所给二次型及对应标准形的矩阵分别为[*]因λ₁=λ₂=2是A的特征值，将其代入｜A一λE｜=0中易求得a=一1。又因A～B，由相似矩阵的性质得到2+2+β=a₁₁+a₂₂+a₃₃=1+1+1=3，则β=一1．于是A的三个特征值为λ₁=λ₂=2，λ₃=一1．解(A一2E)X=0，求出A的属于λ₁=2的特征向量．因[*]由基础解系的简便求法得到α₁=(一1，1，0)^T，α₂=(一1，0，1)^T．利用施密特正交化的方法将属于二重特征值λ=2的特征向量正交化(因α₁，α₂不正交)．为此，令β₁=α₁，[*] 再单位化： [*] 解[A一(一1)E]X=(A+E)x=0求出A的属于特征值λ₃=一1的特征向量．因[*]由基础解系的简便求法即得所求特征向量α₃=(1，1，1)^T，单位化得到[*] 则所用的正交变换矩阵为 [*]

解析

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考研数学二

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设二次型f(x1，x3，z3)=x12+x22+x32－2x1x2一2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形f=2y12+2y22+βy32 求常数α，β及所用正交变换矩阵Q．

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