设矩阵其中矩阵A可逆，则B-1=( )

admin2021-02-25 28

问题设矩阵

其中矩阵A可逆，则B^-1=( )

选项 A、A^-1P₁P₂
B、P₁A^-1P₂
C、P₁P₂A^-1
D、P₂A^-1P₁

答案C

解析本题考查矩阵的初等变换与初等矩阵的关系．所涉及的知识点是
(1)对A矩阵施一次初等列变换，相当于用同类的初等方阵右乘矩阵A．
(2)初等矩阵都是可逆的矩阵，其逆仍是同种的初等矩阵．
(3)可逆矩阵的性质，可逆矩阵积的逆等于逆的积，要调换因子的顺序．
由题设，矩阵是通过交换矩阵的第2、3两列和交换第1、4两列后得到的，即
B=AP₁P₂或B=AP₂P₁，
于是B^-1=P^-1₁P^-1₂A^-1，又P^-1₁=P₁，P^-1₂=P₂，故B^-1=P₁P₂A^-1或B^-1=P₂P₁A^-1．因此应选C．

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