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设y=f(x)在(-1,1)内具有二阶连续导数,且f"(x)≠0,试证: 对(-1,1)内的任一x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使f(x)=f(0)+xf′(θ(x)x)成立;
设y=f(x)在(-1,1)内具有二阶连续导数,且f"(x)≠0,试证: 对(-1,1)内的任一x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使f(x)=f(0)+xf′(θ(x)x)成立;
admin
2019-12-26
75
问题
设y=f(x)在(-1,1)内具有二阶连续导数,且f"(x)≠0,试证:
对(-1,1)内的任一x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使f(x)=f(0)+xf′(θ(x)x)成立;
选项
答案
对(-1,1)内任一x≠0,由拉格朗日中值定理知,[*]θ(x)∈(0,1),使 f(x)=f(0)+xf′[θ(x)x]. 因为f"(x)在(-1,1)内连续且f"(x)≠0,所以f"(x)在(-1,1)内不变号,即f′(x)单调,故θ(x)是唯一的.
解析
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考研数学三
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