2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上二阶连续可导且f(0)=f(1)，又｜f"(x)｜≤M，证明：｜f’(x)｜≤M/2．

设f(x)在[0，1]上二阶连续可导且f(0)=f(1)，又｜f"(x)｜≤M，证明：｜f’(x)｜≤M/2．

admin2022-10-12  38
问题 设f(x)在[0，1]上二阶连续可导且f(0)=f(1)，又｜f"(x)｜≤M，证明：｜f’(x)｜≤M/2．
选项
答案由泰勒公式得f(0)=f(x)+f’(x)(0-x)+f"(ξ)/2!(0-x)2，ξ∈(0，x)，f(1)=f(x)+f’(x)(1-x)+f"(η)/2!(1-x)2，η∈(x，1)．两式相减得f’(x)=1/2[f"(ξ)x2-f"(η)(1-x)2]，取绝对值得｜f’(x)｜≤M/2[x2+(1-x)2]，因为x2≤x，(1-x)2≤1-x，所以x2+(1-x)2≤1，故｜f’(x)｜≤M/2．
解析
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考研数学三

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