设f(x)在区间(一∞,+∞)上连续,且满足 f(x)[∫0xetf(t)dt+1]=x+1. 求f(x)的表达式,并证明所得到的f(x)的确在(一∞,+∞)上连续.

admin2018-09-20  37

问题 设f(x)在区间(一∞,+∞)上连续,且满足
    f(x)[∫0xetf(t)dt+1]=x+1.
求f(x)的表达式,并证明所得到的f(x)的确在(一∞,+∞)上连续.

选项

答案化成常微分方程处理.为此,令 F(x)=∫0xetf(t)dt+1, 有F’(x)=exf(x),f(x)=e-xF’(x).代入原给方程,得 e-xF’(x)F(x)=x+1, F’(x)F(x)=(x+1)ex, [*] 两边积分,得 [*] 因F(0)=∫00etf(t)dt+1=1,所以[*]故 F2(x)=2xex+1,F(x)=[*] 但因F(0)=1>0,所以取“+”,于是 [*] 下面证明,在区间(一∞,+∞)上,函数φ(x)=2xex+1>0. 事实上,φ’(x)=2(x+1)ex,令φ’(x)=0,得x=一1.当x<一1时,φ’(x)<0;当x>一1时,φ’(x)>0,所以φmin=φ(一1)=1—2e-1=[*] 从而知f(x)表达式的分母根号内恒为正,故f(x)在(一∞,+∞)上连续.讨论完毕.

解析
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