2. 考研
  3. 设A是m×s阶矩阵，B是s×n阶矩阵，且r(B)=r(AB)．证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组．

设A是m×s阶矩阵，B是s×n阶矩阵，且r(B)=r(AB)．证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组．

admin2021-11-26  23
问题 设A是m×s阶矩阵，B是s×n阶矩阵，且r(B)=r(AB)．证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组．
选项
答案首先，方程组BX=0的解一定是方程组ABX=0的解． 令r(B)=r且ξ1，ξ2，…，ξn-r是方程组BX=0的基础解系，现设方程组ABX=0有一个解η0不是方程组BX=0的解，即Bη0≠0，显然ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0线性无关， 若ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0线性相关，则存在不全为零的常数k1，k2，…，kn-r，k0使得k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+k0η0=0， 若k0=0，则k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0，因为ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关， 所以k1=k2=…=kn-r=0，从而ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0线性无关，所以k0≠0， 故η0可由ξ1，ξ2，…，ξn-r线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有Bη0=0，矛盾，所以ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0线性无关，且为方程组ABX=0的解，从而n-r(AB)≥n-r+1，r(AB)≤r-1，这与r(B)=r(AB)矛盾， 故方程组BX=0与ABX=0同解．
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/AD3RFFFM
0

考研数学一

相关试题推荐
随机试题
最新回复(0)