设Am×n，r(A)=m，Bn×(n－m)，r(B)=n一m，且满足关系AB=O．证明：若η是齐次线性方程组AX=0的解，则必存在唯一的ξ，使得Bξ=η．

admin2015-08-17 42

问题设A_m×n，r(A)=m，B_n×(n－m)，r(B)=n一m，且满足关系AB=O．证明：若η是齐次线性方程组AX=0的解，则必存在唯一的ξ，使得Bξ=η．

选项

答案将B按列分块，设B=[β₁β₂……β_n-m]，因已知AB=O，故知B的每一列均是AX=0的解，由r(A)=m，r(B)=n一m知，β₁β₂……β_n-m是AX=0的基础解系．若η是AX=0的解向量，则η可由基础解系β₁β₂……β_n-m线性表出，且表出法唯一，即[*]即存在唯一的ξ，使Bξ=η．

解析

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考研数学一

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