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设f(x)是以T为周期的连续函数.证明:∫0xf(t)dt可以表示为一个以T为周期的函数φ(x)与kx之和,并求出此常数k,
设f(x)是以T为周期的连续函数.证明:∫0xf(t)dt可以表示为一个以T为周期的函数φ(x)与kx之和,并求出此常数k,
admin
2020-03-10
41
问题
设f(x)是以T为周期的连续函数.证明:∫
0
x
f(t)dt可以表示为一个以T为周期的函数φ(x)与kx之和,并求出此常数k,
选项
答案
令φ(x)=∫
0
x
f(t)dt一kx,考察 φ(x+T)一φ(x)=∫
0
x+T
f(t)dt一k(x+T)一∫
0
x
f(t)dt+kx =∫
0
T
f(t)dt+∫
T
x+T
f(t)dt一∫
0
x
f(t)dt一kT. 对于其中的第二个积分,作积分变量代换,令t=u+T,有 ∫
T
x+T
f(t)dt=∫
0
x
f(u+T)du=∫
0
x
f(u)du, ① 于是 φ(x+T)一φ(x)=∫
0
T
f(t)dt—kT. 可见,φ(x)为T周期函数的充要条件是 [*] 其中φ(x)为某一周期为T的函数.
解析
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0
考研数学三
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