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(2001年)设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足f(1)=(k>1)。证明:存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=(1一ξ-1)f(ξ)。
(2001年)设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足f(1)=(k>1)。证明:存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=(1一ξ-1)f(ξ)。
admin
2018-04-17
56
问题
(2001年)设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足f(1)=
(k>1)。证明:存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=(1一ξ
-1
)f(ξ)。
选项
答案
[*] 且F(η)=ηe
-η
f(η),F(1)=e
-1
f(1),把f(1)=ηe
1-η
f(η)代入,则 F(1)=e
-1
f(1)=e
-1
ηe
1-η
f(η)=ηe
-η
f(η)=F(η)。 那么F(x)在[η,1]上连续,在(η,1)内可导,由罗尔定理知,至少存在一点ξ∈(η,1)[*][0,1],使得 F’(ξ)=e
-ξ
f(ξ)—ξe
-ξ
f(ξ)+ξe
-ξ
f’(ξ)=0, 即 f’(ξ)=(1一ξ
-1
)f(ξ)。
解析
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考研数学三
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