设A，B为n阶方阵，且满足A2=A，B2=B及(A+B)2=A+B，证明AB=BA=O．

admin2020-09-29 13

问题设A，B为n阶方阵，且满足A²=A，B²=B及(A+B)²=A+B，证明AB=BA=O．

选项

答案由于A²=A，B²=B，则有 (A+B)²=(A+B)(A+B)=A²+AB+BA+B²=A+AB+BA+B，而(A+B)²=A+B，所以A+AB+BA+B=A+B，从而可AB+BA=O．用A左乘上式可得A²B+ABA=AB+ABA=O，用A右乘AB+BA=O可得ABA+BA²=ABA+BA=O，我们有AB=一ABA=BA，故AB=BA=O．

解析

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考研数学一

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