设n阶矩阵A的秩为1,证明: (1)A可以表示成n×1矩阵和1×n矩阵的乘积; (2)存在数μ,对任意正整数k,有Ak=μk-1A.

admin2016-09-19  44

问题 设n阶矩阵A的秩为1,证明:
(1)A可以表示成n×1矩阵和1×n矩阵的乘积;
(2)存在数μ,对任意正整数k,有Akk-1A.

选项

答案(1)将A以列分块,则r(A)=r(α1,α2,…,αn)=1表明列向量组α1,α2,…,αn的极大线性无关组由一个非零向量组成,设为αi=[a1,a2,…,an]T(ai≠0),其余列向量均可由ai线性表出,设为ai=bjai(j=1,2,…,n;j=i时,取bi=1),则 A=[α1,α2,…,αn]=[b1αi,b2αi,bnαi]=αi[b1,b2,…,bn]=[*] [b1,b2,…,bn]. (2)记α=αi=[a1,a2,…,an]T,β=[b1,b2,…,bn]T,则 A=αβT,Ak(αβT)k(αβT)(αβT)…(αβT)=α(βTα)(βTα)…(βTα)βT. 记βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=μ,则 Ak=αμk-1βTk-1A.

解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/9LxRFFFM
0

最新回复(0)