2. 考研
  3. 设a1，a2，a3是四元非齐次线性方程组Ax＝b的三个解向量，且r(A)＝3，a1＋a2＝(2，0，－2，4)T，a1＋a3＝(3，1，0，5)T，则Ax＝b的通解为________

设a1，a2，a3是四元非齐次线性方程组Ax＝b的三个解向量，且r(A)＝3，a1＋a2＝(2，0，－2，4)T，a1＋a3＝(3，1，0，5)T，则Ax＝b的通解为________

admin2022-06-09  51
问题 设a1，a2，a3是四元非齐次线性方程组Ax＝b的三个解向量，且r(A)＝3，a1＋a2＝(2，0，－2，4)T，a1＋a3＝(3，1，0，5)T，则Ax＝b的通解为________
选项
答案k(1，1，2，1)T＋(1，0，1，2)T(k为任意常数)
解析 由已知，有
A(a1＋a22)＝1/2(Aa1＋Aa2)＝1/2(b＋b)＝b，
故1/2(a1＋a2)＝(1，0，－1，2)T是Ax＝b的一个解
同理，1/2(a1＋a2)－(3/2，1/2，0，5/2)T也是Ax＝b的解
又由于Ax＝0有4－r(A)＝4－3＝1个基础解，且
A[(a1＋a3)－(a1＋a2)]＝A(a3－a2)＝Aa3－Aa2＝b－b＝0，
所以
(a1＋a3)－(a1＋a2)＝(1，1，2，1)T
是Ax＝0的基础解系，从而Ax＝b的通解为
k(1，1，2，1)T＋(1，0，－1，2)T(k为任意常数)
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考研数学二

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