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  3. 已知A，B为n阶方阵，证明R(A)+R(B)一n≤R(AB)≤min{R(A)，R(B)}．

已知A，B为n阶方阵，证明R(A)+R(B)一n≤R(AB)≤min{R(A)，R(B)}．

admin2020-09-29  27
问题 已知A，B为n阶方阵，证明R(A)+R(B)一n≤R(AB)≤min{R(A)，R(B)}．
选项
答案将A按列分块得A=(A1，A2，…，An)，则 [*] 可知AB的列向量可由A的列向量组线性表示，从而可得R(AB)≤R(A)． 同理，当把B按行分块，可得AB的行向量组中的每一向量均可由B的行向量组线性表示，从而可得R(AB)≤R(B)．则R(AB)≤min{R(A)，R(B)}．再设R(A)=r，则存在可逆矩阵P，Q使得A=[*]，其中Er是r阶单位矩阵． 因此P-1AB=P-1AQ-1QB=[*]，故R(AB)=R(P-1AB)=R(R1)，其中R1是QB的前r行，设R(B)=s，则R(R1)≥r+s一n=R(A)+R(B)一n，即R(A)+R(B)一n≤R(AB)． 综上知，R(A)+R(B)一n≤R(AB)≤min{R(A)，R(B)}．
解析
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考研数学一

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