2. 考研
  3. n阶矩阵A满足A2一2A一3E=O，证明A能相似对角化．

n阶矩阵A满足A2一2A一3E=O，证明A能相似对角化．

admin2019-08-12  41
问题 n阶矩阵A满足A2一2A一3E=O，证明A能相似对角化．
选项
答案由A2一2A一3E=0得(E+A)(3E—A)=0，则 r(E+A)+r(3E—A)≤n； 由r(E+A)+r(3E—A)≥r(4E)=n得r(E+A)+r(3E—A)=n． (1)当r(E+A)=n时，A=3E为对角阵； (2)当r(3E—A)=n时，为对角矩阵； (3)r(E+A)＜n，r(3E—A)＜n，则|E+A|=0，|3E—A|=0， A的特征值λ1=一1，λ2=3． λ1=一1对应的线性无关的特征向量个数为n一r(一E—A)=n一r(E+A)； λ2=3对应的线性无关的特征向量个数为n一r(3E—A)． 因为n一r(E+A)+n一r(3E—A)=n，所以A可相似对角化．
解析
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考研数学二

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