[2006年] 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和为3.向量α1=[-1,2,-1]T,α2=[0,-1,1]T都是齐次线性方程组AX=0的解.求A的特征值和特征向量.

admin2021-01-25  96

问题 [2006年]  设三阶实对称矩阵A的各行元素之和为3.向量α1=[-1,2,-1]T,α2=[0,-1,1]T都是齐次线性方程组AX=0的解.求A的特征值和特征向量.

选项

答案由命题2.5.1.3知,三阶矩阵A有一个特征值3,且α3=[1,1,1]T为A的属于特征值3的特征向量. 或由[*]知,3是A的一个特征值,α3=[1,1,1]T为A的属于特征值3的特征向量,则A的属于特征值3的所有特征向量为c1α2,c1为不等于0的任意常数. 又由命题2.5.1.10知,α1,α2是A的属于特征值0的特征向量,或由Aα1=0α1,Aα2= 0α2也可看出这一点,所以A的特征值为3,0,0,且属于λ=0的特征向量为 k1α1+k2α2=k1[-1,2,-1]T+k2[0,-1,1]T (k1,k2为不全为0的常数). 注:命题2.5.1.1 λ0是矩阵A的特征值当且仅当|λ0E-A|=0. 对于数字型矩阵,常用特征方程|λE-A|=0求其特征值λ. 为求特征值λi所对应的所有特征向量,只需解方程组(λiE-A)X=0. 命题2.5.1.10 设α≠0为An×n=0的解,则α为A的属于特征值0的特征向量.

解析
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