已知二次型 f(x1，x2，x3)=4x22-3x23+4x1x2-4x1x3+8x2x3．用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．

admin2021-02-25 36

问题已知二次型
f(x₁，x₂，x₃)=4x²₂-3x²₃+4x₁x₂-4x₁x₃+8x₂x₃．
用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．

选项

答案矩阵A的特征多项式为 [*] 由此得矩阵A的特征值为λ₁=1，λ₂=6，λ₃=-6．于是，二次型f可通过正交变换x=Qy化为标准形 f=y²₁+6y²₂-6y²₃．对于特征值λ₁=1，由于 [*] 故对应于特征值λ₁=1的特征向量可取为ξ₁=(2，0，-1)^T．类似地，对应于特征值λ₂=6，λ₃=-6的特征向量可分别取为ξ₂=(1，5，2)^T，ξ₃=(1，-1，2)^T．因为A是实对称矩阵，且λ₁，λ₂，λ₃互异，故x₁，x₂，x₃构成正交向量组，将其单位化得 [*] 于是，所求的正交矩阵为 [*] 故对二次型f作正交变换 [*] 则可将f化为标准形 f=y²₁+6y²₂-6y²₃．

解析

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考研数学二

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已知二次型 f(x1，x2，x3)=4x22-3x23+4x1x2-4x1x3+8x2x3．用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．

考研数学二

[*]

求曲面x2+y2+z2=x的切平面，使其垂直于平面x—y—z=2和

向量组β1，β2，…，βt可由向量组α1，α2，…，αs线性表出，设表出关系为[β1，β2，…，βt]=[α1，α2，…，αs][α1，α2，…，αs]C．若α1，α2，…，αs线性无关，证明：r(β1，β2，…，βt)=r(C)．

设有方程y”+(4x+e2y)(y’)3=0．(1)将方程转化为x为因变量，y作为自变量的方程；(2)求上述方程的通解．

设直线y=kx与曲线y=所围平面图形为D1，它们与直线x=1围成平面图形为D2求此时的D1+D2．

已知A是三阶矩阵，αi(i=1，2，3)是三维非零列向量，令α=α1+α2+α3。若Aαi=iαi(i=1，2，3)，证明：α，Aα，A2α线性无关。

设z=f(x，y)在点(1，2)处存在连续的一阶偏导数，且f(1，2)=2，(1，2)=3，(1，2)=4，φ(x)=f[(x，2x)]．求[φ3(x)]｜x=1．

设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2βx2x3+2x1x3经正交变换化成了标准形f=y12+2y22，其中P为正交矩阵，则α=_，β=____．

设F(χ)是f(χ)的原函数，F(1)＝．若当χ＞0时，有f(χ)F(χ)＝，试求f(χ)＝________．

社会主义医学道德规范的基本内容是

女性，35岁。活动后心悸半月，心尖部Ⅱ/6级收缩期杂音，肝脾未及，血红蛋白80g/L，血清铁48ng%，血清总铁结合力450μg%，铁蛋白饱和度13%。治疗方案是

集诸芳香药于一方。即长于辟秽开窍，又可行气温中止痛的方剂为

室内混响时间与下列哪项因素无关?

在经济全球化的进程中，企业的总部和生产基地以及该企业的其他职能部门分布在不同的城市，这表明城市发生了（）的变化。

What’sLarry’sJob?Heis______ontheGoldenGateBridge.

Obama’sSuccessIsn’tAllGoodNewsforBlackAmericansA)AsErinWhitewatchedtheelectionresultsheadtowardsvictoryfor

已知二次型 f(x1，x2，x3)=4x22-3x23+4x1x2-4x1x3+8x2x3． 用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．

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设有方程y”+(4x+e2y)(y’)3=0．(1)将方程转化为x为因变量，y作为自变量的方程；(2)求上述方程的通解．

设直线y=kx与曲线y=所围平面图形为D1，它们与直线x=1围成平面图形为D2求此时的D1+D2．

已知A是三阶矩阵，αi(i=1，2，3)是三维非零列向量，令α=α1+α2+α3。若Aαi=iαi(i=1，2，3)，证明：α，Aα，A2α线性无关。

设z=f(x，y)在点(1，2)处存在连续的一阶偏导数，且f(1，2)=2，(1，2)=3，(1，2)=4，φ(x)=f[(x，2x)]．求[φ3(x)]｜x=1．

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设F(χ)是f(χ)的原函数，F(1)＝．若当χ＞0时，有f(χ)F(χ)＝，试求f(χ)＝________．

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