设A是3阶矩阵,α1,α2,α3是3维线性无关列向量,且满足 Aα1=α1+2α2+α3,A(α1+α2)=2α1+α2+α3,A(α1+α2+α3)=α1+α2+2α3,则|A|=____________.

admin2019-08-11  48

问题 设A是3阶矩阵,α1,α2,α3是3维线性无关列向量,且满足
          Aα11+2α23,A(α12)=2α123,A(α123)=α12+2α3,则|A|=____________.

选项

答案一4

解析 方法一  由题设条件
    Aα=α1+2α23,A(α12)=2α123,A(α123)=α12+2α3
  故
               
  两边取行列式,得
                     
  因α1,α2,α3线性无关,所以|[α1,α2,α3]|≠0,又
  故有
           
    方法二  Aα11+2α23,A(α12)=2α123
  故              Aα2=A(α12)一Aα11—α2
                  A(α123)=α12+2α3
                  Aα3=A(α123)-A(α12)=α3一α1
  故    [Aα1,Aα2,Aα3]=A[α1,α2,α3]=[α1+2α23,α1一α2,α3一α1]
              
两边取行列式,因|[α1,α2,α3]|≠0,则
         
或P=[α1,α2,α3]可逆,得
                                                         
相似矩阵有相同的行列式,故
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