设向量α1,α2,…,αn-1是n-1个线性无关的n维列向量,ξ1,ξ2是与α1,α2,…,αn-1均正交的n维非零列向量。证明: α1,α2,…,αn-1,ξ1线性无关。

admin2019-01-26  29

问题 设向量α1,α2,…,αn-1是n-1个线性无关的n维列向量,ξ1,ξ2是与α1,α2,…,αn-1均正交的n维非零列向量。证明:
α1,α2,…,αn-1,ξ1线性无关。

选项

答案设k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1+k0ξ1=0,对等号两边同时取转置得 k1α1T+k2α2T+…+kn-1αn-1T+k0ξ1T=0, 上式两边同时右乘ξ1得 k1α1Tξ1+k2α2Tξ1+…+kn-1αn-1Tξ1+k0ξ1Tξ1=0, 在上式中αiT=0(i=1,2,…,n-1),所以k0ξ1Tξ1=0。由ξ1≠0得ξ1Tξ1≠0,所以k0=0,从而k1α1+k2α2+…kn-1αn-1=0。又因为α1,α2,…,αn-1线性无关,所以k1=k2=…=kn-1=k0=0,故 α1,α2,…,αn-1,ξ1线性无关。

解析
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