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  3. （2005年真题）设连续函数y=f(x)在[0，a]内严格单调递增，且f(0)=0，f(a)=a，若g(x)是f(x)的反函数，则∫0a[f(x)+g(x)]dx=[ ]。

（2005年真题）设连续函数y=f(x)在[0，a]内严格单调递增，且f(0)=0，f(a)=a，若g(x)是f(x)的反函数，则∫0a[f(x)+g(x)]dx=[ ]。

admin2015-04-14  55
问题 （2005年真题）设连续函数y=f(x)在[0，a]内严格单调递增，且f(0)=0，f(a)=a，若g(x)是f(x)的反函数，则∫0a[f(x)+g(x)]dx=[     ]。
选项 A、f2(a)+g2(a)
B、f2(a)
C、2∫0af(x)dx
D、2∫0ag(x)dx
答案B
解析 本题考查函数与其反函数的关系及定积分的几何意义。
解法1
若g(x)是f(x)的反函数，则曲线g(x)与f(x)关于y=x对称，如图4．7(a)与(b)所示。

由y=f(x)在[0，a]内严格单调递增，且f(0)=0可得在[0，a]内f(x)≥0与g(x)>10。由定积分的几何意义，∫0af(x)dx等于图4．7(a)所示阴影部分曲边三角形的面积，∫0af(x)dx等于图4．7(b)所示阴影部分曲边三角形的面积。又图4．7(a)中曲边形OCO的面积等于图4．7(b)中曲边形OCO的面积，从而∫0a[f(x)+g(x)]dx等于图4．7(b)直角三角形OaC(或图4．7(a)直角三角形OaC)面积2倍，即∫0a[f(x)+g(x)]dx=2××f(a)=a×f(a)=f2(a)。故正确选项为B。
解法2
特殊值代入法。设，则f(x)满足题设条件，其反函数为，因此=a2=f2(a)。
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