设D=为正定矩阵，其中A，B分别为m阶、n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．利用(I)的结果判断矩阵B一CTA-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

admin2021-01-19 38

问题设D=

为正定矩阵，其中A，B分别为m阶、n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．
利用(I)的结果判断矩阵B一C^TA^-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

选项

答案证一因D为正定矩阵，而PTDP合同于D，由命题2．6．2．2(3)知，P^TDP为正定矩阵，即 [*] 为正定矩阵．选X=[*]及任意Y=[y₁，y₂，…，y_n]^T≠0，则 [X^T，Y^T][*]=[X^TA,Y^T(B—C^TA^-1C)[*] =X^TAX+Y^T(B—C^TA^-1C)Y=Y^T(B—C^TA^-1C)y＞0．故B—C^TA^-1C为正定矩阵．证二由证一知，M为正定矩阵，从而M的各阶顺序主子式大于零．于是B—C^TA^-1C的各阶顺序主子式也大于零．又因M为对称矩阵，故B—C^TA^-1C也为实对称矩阵，由命题2．6．2．1(2)知，B—C^TA^-1C为正定矩阵．

解析

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考研数学二

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设三元线性方程组有通解求原方程组．

设n元线性方程组Ax=b，其中当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1；

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如果n阶矩阵A的秩r(A)≤1，(n＞1)，则A的特征值为0，0，…，0，tr(A)．

已知n阶方阵A满足矩阵方程A2一3A一2E=O．证明：A可逆，并求出其逆矩阵A一1．

设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(，0)。(Ⅱ)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形面积最小。

设A是三阶实矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是三个对应的特征向量，证明：当λ2λ3≠0时，向量组ξ1，A(ξ1+ξ2)，A2(ξ1+ξ2+ξ3)线性无关．

已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式。证明：aij=一Aij＜=＞ATA=E，且｜A｜=一1。

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信用证是一种银行开立的无条件承诺付款的书面文件。()

设矩阵，且｜A｜=-1，A的伴随矩阵A*有特征值λ0，属于λ0的特征向量为α=[-1，-1，1]T，求a，b，c及λ0的值．

Directions:Usingtheinformationinthetext,completeeachsentence6-10,withawordorphrasefromthelistbelow.Foreach

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