[2009年] 函数y=x2x在区间(0，1]上的最小值为__________．

admin2021-01-19 45

问题 [2009年] 函数y=x^2x在区间(0，1]上的最小值为__________．

选项

答案利用命题1．2．5．4或命题1．2．5．5求之．解一 y=e^2xlnx，故y′=e^2xlnx(21nx+2)=x^2x(21nx+2)，令y′=0得驻点为x₁=l／e．此时y₁=e^-2/e．而 y(1)=1，y(0+0)=[*]=e^2.0=1．由命题1．2．5．6知，y=x^2x在区间(0，1]上的最小值为 m=min{y(0)，y(x1)，y(1))=min{1，e^-2/e，1)=e^-2/e．解二函数y=x^2x在区间(0，1)上连续，在(0，1)区间内只有一个驻点x₁=1／e，又 y″=x^2x(2lnx+2)²+x^2x(2／x)，得y″(1／e)=[*]＞0．故x₁=1／e为y=x^2x 的极小值点，该极小值为y₁=e^-2/e．由命题1．2．5．5知，该极小值即为函数y在区间(0，1]上的最小值．

解析

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