2. 考研
  3. (Ⅰ)求累次积分J＝ (Ⅱ)设连续函数f(χ)满足f(χ)＝1＋∫χ1f(y)f(y－χ)dy，记I＝∫01f(χ)dχ，求证：I＝1＋∫01f(y)dy∫0yf(y－χ)dχ， (Ⅲ)求出I的值．

(Ⅰ)求累次积分J＝ (Ⅱ)设连续函数f(χ)满足f(χ)＝1＋∫χ1f(y)f(y－χ)dy，记I＝∫01f(χ)dχ，求证：I＝1＋∫01f(y)dy∫0yf(y－χ)dχ， (Ⅲ)求出I的值．

admin2016-07-20  50
问题 (Ⅰ)求累次积分J＝
    (Ⅱ)设连续函数f(χ)满足f(χ)＝1＋∫χ1f(y)f(y－χ)dy，记I＝∫01f(χ)dχ，求证：I＝1＋∫01f(y)dy∫0yf(y－χ)dχ，
    (Ⅲ)求出I的值．
选项
答案(Ⅰ)将J表成 J＝[*]dχdy 其中D：0≤Y≤1，[*]≤χ≤1，如图所示，现改换成先y后χ的积分顺序得 [*] (Ⅱ)因f(χ)＝1＋[*]∫χ1f(y)f(y－χ)dy，所以在[0，1]上积分上式可得 I＝∫01f(χ)dχ＝1＋[*]∫01dχ∫χ1f(y)f(y－χ)dy． 将累次积分表成二重积分后交换积分顺序，可得 [*] (其中D如图) [*] (Ⅲ)为求I值，再对内层积分作变量替换并凑微分可得 [*] 故I＝1＋[*]，解得I＝2．
解析
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考研数学一

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