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设飞机以匀速ν(ν为常数)沿垂直于x轴的方向向上飞行,飞机在(a,0)(a>0)处被发现,随即从原点(0,0)处发射导弹,导弹的速度为2ν,方向始终指向飞机,如图所示 求导弹飞行轨迹y=y(x)的表达式;
设飞机以匀速ν(ν为常数)沿垂直于x轴的方向向上飞行,飞机在(a,0)(a>0)处被发现,随即从原点(0,0)处发射导弹,导弹的速度为2ν,方向始终指向飞机,如图所示 求导弹飞行轨迹y=y(x)的表达式;
admin
2022-06-09
96
问题
设飞机以匀速ν(ν为常数)沿垂直于x轴的方向向上飞行,飞机在(a,0)(a>0)处被发现,随即从原点(0,0)处发射导弹,导弹的速度为2ν,方向始终指向飞机,如图所示
求导弹飞行轨迹y=y(x)的表达式;
选项
答案
如图所示,设导弹在t(t≥0)时刻的坐标为P(x(t),y(t)),飞机的位置为Q(a,vt) [*] 依题意,y=y(x)的切线斜率为y’(x)=vt-y/a-x,即 (a-x)dy/dx=vt-y ① 弧长[*]为 ∫
0
x
[*]dx=2vt ② 由式①和式②消去t,得 ∫
0
x
[*]dx=2[y+(a-x)y’] 两边同时对x求导,得 [*]=2(a-x)y’’ ③ 方程为可降阶的微分方程,不显含y,初始条件为y(0)=0,y’(0)=0令y’=P,则y’’=P’,方程③化为 [*]=dx/2(a-x) 积分,得 ln(p+[*])=1n C
1
-1/2ln(a-x) 由p(0)=y’(0)=0,得C
1
=[*],故p+[*]=[*],有理化并解出y’=p=1/2[*] 再积分,得 y(x)=1/3(a-x)[*]+C
2
由y(0)=0,得C
2
=2/3a,故 y=1/3(a-x)[*]+2/3a
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/d8hRFFFM
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考研数学二
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