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  3. 设f(x)=∫－1xt｜t｜dt(x≥一1)，求曲线y=f(x)与x轴所围封闭图形的面积。

设f(x)=∫－1xt｜t｜dt(x≥一1)，求曲线y=f(x)与x轴所围封闭图形的面积。

admin2019-04-22  49
问题 设f(x)=∫－1xt｜t｜dt(x≥一1)，求曲线y=f(x)与x轴所围封闭图形的面积。
选项
答案因为t｜t｜为奇函数，可知其原函数 f(x)=∫－1xt｜t｜dt=∫－10t｜t｜dt+∫0xt｜t｜dt为偶函数，由f(一1)=0，得f(1)=0，即y=f(x)与x轴有交点(一1，0)，(1，0)。 又由f’(x)=x｜x｜，可知x＜0时，f’(x)＜0，故f(x)单调减少，因此f(x)＜f(一1)=0(一1＜x≤0)。 当x＞0时，f’(x)=x｜x｜＞0，故f(x)单调增加，所以当x＞0时，y=f(x)与x轴有一交点(1，0)。综上，y=f(x)与x轴交点仅有两个。 所以封闭曲线所围面积 A=∫－11｜f(x)｜dx=2∫－10｜f(x)｜dx。 当x＜0时，f(x)=∫－1xt｜t｜dt=∫－1x一t2dt=一[*](1+x3)，因此 A=2∫－10[*](1+x3)dx=[*]。
解析
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考研数学二

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