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  3. 已知二阶可导函数y=f(x)满足f(x)=x3+1一x∫0xf(t)dt+∫0xtf(t)dt，求f(x)．

已知二阶可导函数y=f(x)满足f(x)=x3+1一x∫0xf(t)dt+∫0xtf(t)dt，求f(x)．

admin2019-03-07  6
问题 已知二阶可导函数y=f(x)满足f(x)=x3+1一x∫0xf(t)dt+∫0xtf(t)dt，求f(x)．
选项
答案对等式求导得f’(x)=3x2一∫0xf(t)dt—xf(x)+xf(x)=3x2一∫0xf(t)dt， 再求导得f’’(x)=6x一f(x)，即f’’(x)+f(x)=6x， 这是二阶非齐次线性微分方程，其对应的齐次方程的特征方程为r2+1=0，所以r1=i，r2=一i， 故对应二阶齐次微分方程通解为y=C1cosx+C2sinx． λ=0不是该微分方程的特征根，故特解形式为y*=Ax+B， (y*)’=A，(y*)’’=0，代入原方程得Ax+B=6x，解得A=6，B=0． 故通解为f(x)=C1cosx+C2sinx+6x，又方程满足f(0)=1，f’(0)=0，所以解之可得C1=1，C2=一6，故函数f(x)=cosx一6sinx+6x．
解析
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