一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长18m，运动开始时链条一边下垂8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?

admin2019-05-11 20

问题一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长18m，运动开始时链条一边下垂8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?

选项

答案设链条的线密度为ρ，取χ轴正向为垂直向下，设t时刻链条下垂χ(t)m，则下垂那段的长度为(10＋χ)m，另一段长度为(8－χ)m，此时链条受到的重力为 (10＋χ)ρg－(8－χ)ρg＝2(χ＋1)ρg．链条的总重量为18ρ，由牛顿第二定理F＝ma得 [*]，且χ(0)＝0，χ′(0)＝0，解得χ(t)＝[*]，当链条滑过整个钉子时，χ＝8， [*]

解析

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考研数学二

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设f(χ)在[0，1]上二阶可导，且f〞(χ)＜0．证明：∫01f(χ2)dχ≤f()．
设f(χ)在[0，＋∞)上连续，非负，且以T为周期，证明：
设f(χ)在[a，b]上二阶可导，且f′(a)＝f′(b)＝0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得｜f〞(ξ)｜≥｜f(b)－f(a)｜．
设f(χ)在(－∞，＋∞)上有定义，且对任意实数a，b，都有等式f(a＋b)＝eaf(b)＋ebf(a)成立，又f′(0)＝1，求f(χ)．
计算I＝y2dσ，其中D由χ＝－2，y＝2，χ轴及曲线χ＝－围成．
把(χ，y)dχdy写成极坐标的累次积分，其中D＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，0≤y≤χ}．

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