设A是n阶矩阵,下列命题错误的是( )。

admin2021-11-25  36

问题 设A是n阶矩阵,下列命题错误的是(          )。

选项 A、若A2=E,则-1一定是矩阵A的特征值
B、若r(E+A)<n,则-1一定是矩阵A的特征值
C、若矩阵A的各行元素之和为-1,则-1一定是矩阵A的特征
D、若A是正交矩阵,且A的特征值之积小于零,则-1一定是A的特征值

答案A

解析 若r(E+A)<n,则|E+A|=0,于是-1为A的特征值,
若A的每行元素之和为-1,则,根据特征值特征向量的定义,-1为A的特征值,若A是正交矩阵,则ATA=E,令AX=λx(其中X≠0),则XTAT=λXT,于是XTATAX=λ2XTX,即(λ2-1)XTX=0,而XTX>0,故λ2=1,再由特征值之积为负,得-1为A的特征值,选A。
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