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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=∫01f(x)dx=0,证明:存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)+f(ξ)=0.
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=∫01f(x)dx=0,证明:存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)+f(ξ)=0.
admin
2022-10-12
31
问题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=∫
0
1
f(x)dx=0,证明:存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)+f(ξ)=0.
选项
答案
令F(x)=∫
0
x
f(t)dt,F’(x)=f(x),F(0)=F(1)=0,由罗尔定理,存在c∈(0,1),使得F’(c)=0,即f(c)=0.令φ(x)=e
x
f(x),φ(0)=φ(c)=0,由罗尔定理,存在ξ∈(0,c)∈(0,1),使得φ’(ξ)=0,而φ’(x)=e
x
[f’(x)+f(x)]且e
x
≠0,故f’(ξ)+f(ξ)=0.
解析
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0
考研数学三
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