设Q=(α1，α2，α3)是3阶矩阵，α1=()T，α2=()T，QTAQ=diag(0，0，a)(a≠0)，A为3阶矩阵，且A2=3A．求α3使Q(｜Q｜=1)为正交矩阵，并求A；

admin2023-01-04 11

问题设Q=(α₁，α₂，α₃)是3阶矩阵，α₁=(

)^T，α₂=(

)^T，Q^TAQ=diag(0，0，a)(a≠0)，A为3阶矩阵，且A²=3A．
求α₃使Q(｜Q｜=1)为正交矩阵，并求A；

选项

答案由已知，α₁，α₂是单位正交列向量．令x₀=(k₁，k₂，k₃)^T，依题设，由[*]解得x₀=(1，1，1)^T，单位化得α₃=([*])^T．故Q=(α₁，α₂，a₃)为正交矩阵．设α为A的特征值λ对应的特征向量，则(A²-3A)α=0，即得(λ²-3λ)α=0(α≠0)，故λ=0或λ=3，由已知a=3，故Q^TAQ=diag(0，0，3)，于是 [*]

解析

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考研数学一

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