设f(χ)为连续函数，证明： (1)∫0πχf(sinχ)dχ＝∫0πf(sinχ)dχ＝πf(sinχ)dχ； (2)∫02πf(｜sinχ｜)dχ＝4f(sinχ)dχ．

admin2019-08-23 58

问题设f(χ)为连续函数，证明：
(1)∫₀^πχf(sinχ)dχ＝

∫₀^πf(sinχ)dχ＝π

f(sinχ)dχ；
(2)∫₀^2πf(｜sinχ｜)dχ＝4

f(sinχ)dχ．

选项

答案(1)令I＝∫₀^πχf(sinχ)dχ，则 I＝∫₀^πχf(sinχ)dχ[*]∫₀^π(π－t)f(sint)(－dt)＝∫₀^π(π－t)F(sint)dt ＝∫₀^π(π－χ)f(sinχ)dχ＝π∫₀^π(sinχ)dχ－∫₀^πχf(sinχ)dχ－π∫₀^πf(sinχ)dχ－I，则l＝∫₀^πχf(sinχ)dχ＝[*]∫₀^πf(sinχ)dχ＝π[*]f(sinχ)dχ． (2)∫₀^2πf(｜sinχ｜)dχ＝∫_-π^πf(｜sinx｜)dχ＝2∫₀^πf(｜sinχ｜)dχ ＝2∫₀^πf(sinχ)dχ＝4[*]f(sinχ)dχ．

解析

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