设有向量组(Ⅰ)：α1＝(1，0，2)T，α2＝(1，1，3)T，α3＝(1，－1，a＋2)T和向量组(Ⅱ)：β1＝(1，2，a＋3)T，β2＝(2，1，a＋6)T，β3＝(2，1，a＋4)T．试问：当a为何值时，向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价?当a为何值

admin2016-06-30 38

问题设有向量组(Ⅰ)：α₁＝(1，0，2)^T，α₂＝(1，1，3)^T，α₃＝(1，－1，a＋2)^T和向量组(Ⅱ)：β₁＝(1，2，a＋3)^T，β₂＝(2，1，a＋6)^T，β₃＝(2，1，a＋4)^T．试问：当a为何值时，向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价?当a为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价?

选项

答案由于行列式｜α₁ α₂ α₃｜＝a＋1，故当a≠－1时，秩[α₁ α₂ α₃]＝3．方程组χ₁α₁＋χ₂α₂＋χ₃α₃＝β_i(i＝1，2，3)有解(且有唯一解)，所以向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅰ)线性表示；又由行列式｜β₁ β₂ β₃｜＝6≠0，同理可知向量组(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示．故当a≠－1时，(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．当a＝－1时，由于秩[α₁ α₂ α₃]≠秩[α₁ α₂ α₃[*]β₁]，故方程组χ₁α₁＋χ₂α₂＋χ₃α₃＝β₁无解，即β₁不能由向量组(Ⅰ)线性表示，所以(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价．

解析

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考研数学二

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设有向量组(Ⅰ)：α1＝(1，0，2)T，α2＝(1，1，3)T，α3＝(1，－1，a＋2)T和向量组(Ⅱ)：β1＝(1，2，a＋3)T，β2＝(2，1，a＋6)T，β3＝(2，1，a＋4)T．试问：当a为何值时，向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价?当a为何值

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