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  3. A是m×n矩阵，线性方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是( )．

A是m×n矩阵，线性方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是( )．

admin2020-03-15  62
问题 A是m×n矩阵，线性方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是(     )．
选项 A、m一n且|A|≠0
B、导出组AX=0有且仅有零解
C、A的列向量组α1 ，α2 ，…，αn与α1 ，α2 ，…，αn ，b等价
D、r(A)=n，且b可由A的列向量组线性表出
答案D
解析 利用A=b有唯一解的充分必要条件是r(A)=r(A|b)=n去判别．
当m=n时，必有

因而必有解．又|A|≠0，即m=n=r(A)，则AX=b必有唯一解，这也可由克拉默法则得知．但并不必要，当m≠n时，方程组也可能有唯一解．例如

AX=b有唯一解．(C)是AX=b有唯一解的必要条件，并非充分条件，即两个向量组α1 ，α2 ，…，αn与α1 ，α2 ，…，αn ，b等价是方程组AX=b有解的充要条件，是有唯一解的必要条件，例如AX=b有解，但解不唯一．(B)是AX=b有唯一解的必要条件，并非充分条件．因这时不能保证r(A)=r(A|b)．如
AX=0有非零解，则AX=b必没有唯一解，它可能有无穷多解，亦可能无解，当AX=0只有零解时，AX=b可能有唯一解，也可能无解，并不能保证必有唯一解．例如

AX=0仅有零解，而AX=b并无解．(D)秩r(A)=n表明A的列向量组线性无关，因而如AX=b有解，则解必唯一．仅r(A)=n还不能保证，因而不能保证AX=b有解(参见(B)中反例)，b可由A的列向量组线性表出是AX=b有解的充要条件，这两个条件结合才能保证

因而它们才是AX=b有唯一解的充要条件，仅(D)入选。
注意(B)、(C)均是必要条件，前者不能保证r(A)=，因而不能保证AX=b必有解，后者不能保证AX=b的解唯一．A的列向量线性相关，AX=b绝对没有唯一解，列向量组线性无关最多有唯一解．
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考研数学三

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