求正交变换化二次型x12＋x22＋x32－4x1x2－4x2x3－4x1x3为标准形·

admin2018-11-22 40

问题求正交变换化二次型x₁²＋x₂²＋x₃²－4x₁x₂－4x₂x₃－4x₁x₃为标准形·

选项

答案二次型矩阵[*]，由特征多项式 [*] 得特征值为 λ₁＝λ₂＝3λ₃＝一3．由(3E—A)x＝0得基础解系α₁＝(一1，1，0)^T，α₂＝(一1，0，1)^T，即λ＝3的特征向量是α₁，α₂．由(一3E—A)x＝0得基础解系α₃＝(1，1，1)^T．对α₁，α₂经Schimidt正变化，有 [*] 单位化，得 [*] 那么，令x＝Qy，其中Q＝(γ₁，γ₂，γ₃)，则有＝xTAx＝yTAy＝3y₁²＋3y₂²一3y₃²．二次型矩阵A：由二次型的秩为2，即矩阵A的秩r(A)＝2，则有f(x₁＋x₂＋x₃)＝x^TAx＝y^TΛy＝3y₁²＋ 3y₂²－3y₃²

解析

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考研数学一

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