2. 考研
  3. 设对χ＞0的空间区域内任意的光滑有向封闭曲面∑都有 χf(χ)dydχ－χyf(χ)dzdχ－ze2χdχdy＝0， 其中函数f(χ)在(0，＋∞)内具有连续一阶导数，且Rf(χ)＝1，求F(χ)。

设对χ＞0的空间区域内任意的光滑有向封闭曲面∑都有 χf(χ)dydχ－χyf(χ)dzdχ－ze2χdχdy＝0， 其中函数f(χ)在(0，＋∞)内具有连续一阶导数，且Rf(χ)＝1，求F(χ)。

admin2017-11-30  59
问题 设对χ＞0的空间区域内任意的光滑有向封闭曲面∑都有
    χf(χ)dydχ－χyf(χ)dzdχ－ze2χdχdy＝0，
    其中函数f(χ)在(0，＋∞)内具有连续一阶导数，且Rf(χ)＝1，求F(χ)。
选项
答案根据已知条件，结合高斯公式，有 0＝[*]χf(χ)dydz－χyf(χ)dzdχ－ze2χdχdy， ＝±[*](χf′(χ)＋f(χ)－χf(χ)－2χ)dV， 其中Ω是由∑围成的有界封闭区域，由∑的任意性可知 χf′(χ)＋f(χ)－χf(χ)－e2χ＝0(χ＞0)， 即f′(χ)＋[*]e2χ(χ＞0)。 [*] 所以[*](e2χ＋Ceχ)＝0，即C＋1＝0，C＝－1。 故f(χ)＝[*]，χ＞0。
解析
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考研数学一

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