2. 考研
  3. 设f(χ)＝∫－1χt3｜t｜dt，(Ⅰ)求函数f(χ)的单调性区间与正、负值区间． (Ⅱ)求曲线y＝f(χ)与χ轴所围成的封闭图形的面积．

设f(χ)＝∫－1χt3｜t｜dt，(Ⅰ)求函数f(χ)的单调性区间与正、负值区间． (Ⅱ)求曲线y＝f(χ)与χ轴所围成的封闭图形的面积．

admin2017-11-21  43
问题 设f(χ)＝∫－1χt3｜t｜dt，(Ⅰ)求函数f(χ)的单调性区间与正、负值区间．
    (Ⅱ)求曲线y＝f(χ)与χ轴所围成的封闭图形的面积．
选项
答案(Ⅰ)f′(χ)＝[*] [*]f(χ)在(－∞，0]↘，在[0，＋∞)[*]． 为求f(χ)的正负值区间，先求出使f(χ)＝0的χ值．易知 f(－1)＝∫－1－1t3｜t｜dt＝0，f(1)＝∫－11t3｜t｜dt＝0。 再由f(χ)的单调性知， f(χ)＞f(－1)＝0(χ＜－1)，f(χ)＞f(1)＝0(χ＞1) f(χ)＜f(－1)＝0(－1＜χ≤0)， f(χ)＜f(1)(0≤χ＜1) 因此f(χ)＞0(χ∈(－∞，－1)或χ∈(1，＋∞)) f(χ)＜0(χ∈(－1，1)) (Ⅱ)曲线y＝f(χ)与χ轴所围成的封闭图形是 {(χ，y)｜－1≤χ≤1，f(χ)≤y≤0} 如下图所示： [*] 该图形的面积 A＝∫－11｜f(χ)｜dχ＝｜∫－11f(χ)dχ｜(因为f(χ)在(－1，1)恒负值) ＝｜χf(χ)｜－11－∫－11χf′(χ)dχ｜ ＝2∫01χ.χ3｜χ｜dχ＝2∫02χ5dχ ＝[*]
解析
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考研数学二

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