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设A=,求A的特征值与特征向量,并判断矩阵A是否可对角化,若可对角化,求出可逆矩阵P及对角阵.
设A=,求A的特征值与特征向量,并判断矩阵A是否可对角化,若可对角化,求出可逆矩阵P及对角阵.
admin
2019-11-25
28
问题
设A=
,求A的特征值与特征向量,并判断矩阵A是否可对角化,若可对角化,求出可逆矩阵P及对角阵.
选项
答案
|λE-A|=[*]=(λ+a-1)(λ-a)(λ-a-1)=0,得矩阵A的特征值为λ
1
=1-a,λ
2
=a,λ
3
=1+a. (1)当1-a≠a,1-a≠1+a,a≠1+a,即a≠0且a≠[*]时,因为矩阵A有三个不 同的特征值,所以A一定可以对角化. λ
1
=1-a时,由[(1-a)E-A]X=0得ξ
1
=[*]; λ
2
=a时,由(aE-A)X=0得ξ
2
=[*]; λ
3
=1+a时,由[(1+a)E-A]X=0得ξ
3
=[*]. 令P=[*],得P
-1
AP=[*]. (2)当a=0时,λ
1
=λ
3
=1, 因为r(E-A)=2,所以方程组(E-A)X=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量, 故矩阵A不可以对角化. (3)当a=[*]时,λ
1
=λ
2
=[*], 因为r([*]E-A)=2,所以方程组([*]E-A)X=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量,故A不可以对角化.
解析
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考研数学三
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