设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵．则对于线性方程组(I)：AX=0和(Ⅱ)：ATAX=0，必有

admin2013-03-17 42

问题设A为n阶实矩阵，A^T是A的转置矩阵．则对于线性方程组(I)：AX=0和(Ⅱ)：A^TAX=0，必有

选项 A、(Ⅱ)的解是(I)的解，(I)的解也是(Ⅱ)的解．
B、(Ⅱ)的解是(I)的解，但(I)的解不是(Ⅱ)的解．
C、(I)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(I)的解．
D、(I)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(I)的解．

答案A

解析若η是(I)的解，则Aη=0，那么
(A^TA)η=A^T(Aη)：A^T0=0，即η是(Ⅱ)的解．
若α是(Ⅱ)的解，有A^TAα=0，用α^T左乘得
α^TA^TAα=0，即(Aα)^T(Aα)=0．
亦即Aα自己的内积(Aα，Aα)=0，故必有Aα=0，即α是(I)的解．
所以(I)与(Ⅱ)同解，故应选(A)．

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