设f(x)=(akcoskx+bksinkx),其中ak,bk(k=1,2,…,n)为常数.证明: (Ⅰ)f(x)在[0,2π)必有两个相异的零点; (Ⅱ)f(m)(x)在[0,2π)也必有两个相异的零点.

admin2018-11-21  54

问题 设f(x)=(akcoskx+bksinkx),其中ak,bk(k=1,2,…,n)为常数.证明:
(Ⅰ)f(x)在[0,2π)必有两个相异的零点;
(Ⅱ)f(m)(x)在[0,2π)也必有两个相异的零点.

选项

答案(Ⅰ)令F(x)=[*],显然,F’(x)=f(x).由于F(x)是以2π为周期的可导函数,故F(x)在[0,2π]上连续,从而必有最大值与最小值.设F(x)分别在x1,x2达到最大值与最小值,且x1≠x2,x1,x2∈[0,2π),则F(x1),F(x2)也是F(x)在(一∞,+∞)上的最大值,最小值,因此x1,x2必是极值点.又F(x)可导,由费马定理知F’(x1)=f(x1)=0,F’(x2)=f(x2)=0. (Ⅱ)f(m)(x)同样为(Ⅰ)中类型的函数即可写成f(m)(x)=[*](αkcoskx+βksinkx),其中αk,βk(k=1,2,…,n)为常数,利用(Ⅰ)的结论,f(m)(x)在[0,2π)必有两个相异的零点.

解析 即证:f(x)=在[0,2π)存在两个相异零点.只要证

在[0,2π)有两个极值点.注意:F(x)是周期为2π的周期函数,F(x)在[0,2π)的最大与最小值点也是F(x)在(一∞,+∞)上的最大与最小值点,因而必是极值点.
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