2. 考研
  3. 设f(x)在(－∞，﹢∞)上连续，下述命题： ①若对任意a，∫－aaf(x)dx＝0，则f(x)必是奇函数； ②若对任意a，∫－aaf(x)dx＝2∫0af(x)dx，则F(X)必是偶函数； ③若f(x)为周期为T的奇函数，则F(x)＝∫0xf(t)dt也

设f(x)在(－∞，﹢∞)上连续，下述命题： ①若对任意a，∫－aaf(x)dx＝0，则f(x)必是奇函数； ②若对任意a，∫－aaf(x)dx＝2∫0af(x)dx，则F(X)必是偶函数； ③若f(x)为周期为T的奇函数，则F(x)＝∫0xf(t)dt也

admin2018-12-21  54
问题 设f(x)在(－∞，﹢∞)上连续，下述命题：
①若对任意a，∫－aaf(x)dx＝0，则f(x)必是奇函数；
②若对任意a，∫－aaf(x)dx＝2∫0af(x)dx，则F(X)必是偶函数；
③若f(x)为周期为T的奇函数，则F(x)＝∫0xf(t)dt也具有周期T．
正确的个数是    (  )
选项 A、0
B、1．
C、2．
D、3．
答案D
解析 ①是正确的．记F(a)＝∫－aaf(x)dx，有F’(a)＝f(a)﹢f(－a)．
由于F(a)＝0，所以F’(a)，即f(a)＝－f(－a)，f(x)为奇函数．
②是正确的．记F(a)＝∫－aaf(x)dx－2∫0af(x)dx，F’(a)＝f(a)﹢f(－a)－2f(a)0，所以f(－a)＝
f(a)，f(x)为偶函数．
③是正确的． F(x﹢T)－F(x)＝∫0x﹢Tf(t)dt－∫0xf(t)df＝∫x0x﹢Tf(t)dt
＝∫0Tf(t)dt＝f(t)dt＝0，
所以F(x)具有周期T故应选(D)．
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考研数学二

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