已知积分与路径无关,f(x)可微,且 (Ⅰ)求f(x); (Ⅱ)对(Ⅰ)中求得的f(x),求函数u=u(x,y)使得du=(x+xysinx)dx+ (Ⅲ)对(Ⅱ)中的du求积分,其中积分路径为从A(π,1)到B(2π,0)的任意路径。

admin2019-01-23  43

问题 已知积分与路径无关,f(x)可微,且
(Ⅰ)求f(x);
(Ⅱ)对(Ⅰ)中求得的f(x),求函数u=u(x,y)使得du=(x+xysinx)dx+
(Ⅲ)对(Ⅱ)中的du求积分,其中积分路径为从A(π,1)到B(2π,0)的任意路径。

选项

答案(Ⅰ)由题意可得 [*] 这是一阶线性微分方程,通解为f(x)=x(sinx-xcosx+C)。由初始条件[*],得C=-1,于是f(x)=x(sinx-xcosx-1)。 (Ⅱ)由(Ⅰ)中结论可得 du=(x+xysinx)dx+[*]=(x+xysinx)dx+(sinx-xcosx-1)dy, 则[*]=x+xysinx,两边对x积分得u=[*]-xycosx+ysinx+φ(y), 于是[*]=-ccosx+sinx+φ’(y)=sinx-xcosx-1, 因此φ’(y)=-1,两边对y积分得φ(y)=-y+C, u=[*]-xycosx+ysinx-y+C,其中C为任意常数。 (Ⅲ)由于积分与路径无关,所以 [*]

解析
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