2. 考研
  3. 已知积分与路径无关，f(x)可微，且 (Ⅰ)求f(x)； (Ⅱ)对(Ⅰ)中求得的f(x)，求函数u=u(x，y)使得du=(x+xysinx)dx+ (Ⅲ)对(Ⅱ)中的du求积分，其中积分路径为从A(π，1)到B(2π，0)的任意路径。

已知积分与路径无关，f(x)可微，且 (Ⅰ)求f(x)； (Ⅱ)对(Ⅰ)中求得的f(x)，求函数u=u(x，y)使得du=(x+xysinx)dx+ (Ⅲ)对(Ⅱ)中的du求积分，其中积分路径为从A(π，1)到B(2π，0)的任意路径。

admin2019-01-23  43
问题 已知积分与路径无关，f(x)可微，且
(Ⅰ)求f(x)；
(Ⅱ)对(Ⅰ)中求得的f(x)，求函数u=u(x，y)使得du=(x+xysinx)dx+
(Ⅲ)对(Ⅱ)中的du求积分，其中积分路径为从A(π，1)到B(2π，0)的任意路径。
选项
答案(Ⅰ)由题意可得 [*] 这是一阶线性微分方程，通解为f(x)=x(sinx-xcosx+C)。由初始条件[*]，得C=-1，于是f(x)=x(sinx-xcosx-1)。 (Ⅱ)由(Ⅰ)中结论可得 du=(x+xysinx)dx+[*]=(x+xysinx)dx+(sinx-xcosx-1)dy， 则[*]=x+xysinx，两边对x积分得u=[*]-xycosx+ysinx+φ(y)， 于是[*]=-ccosx+sinx+φ’(y)=sinx-xcosx-1， 因此φ’(y)=-1，两边对y积分得φ(y)=-y+C， u=[*]-xycosx+ysinx-y+C，其中C为任意常数。 (Ⅲ)由于积分与路径无关，所以 [*]
解析
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考研数学一

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