设α=(1，-1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是______。

admin2019-05-12 39

问题设α=(1，-1，a)^T，β=(1，a，2)^T，A=E+αβ^T，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是______。

选项

答案k(1，-1，1)^T，k≠0

解析令B=αβ^T，那么可知矩阵B的秩是1，且β^Tα=a+1，因此鼬=αβ^Tα=(a+1)α，由此可知矩阵B的特征值为a+1，0，0。那么A=E+B的特征值为a+2，1，1。
又因为λ=3是矩阵A的特征值，因此1+(a+1)=3，可得a=1。于是就有
Bα=2α。
α=(1，-1，1)^T是矩阵B属于特征值λ=2的特征向量，也就是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量。

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